Заведующий кафедрой – Звягин Виктор Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор. Зам. председателя специализированного совета по защите докторских диссертаций (01.01.02). Им подготовлено 5 кандидатов и 1 доктор наук, которые занимаются разработкой топологических методов исследования операторных уравнений.

Кафедра алгебры и топологических методов анализа – единственная в России такого профиля, организована в 1963 году. В ее компетенции чтение курсов алгебры (в частности, линейной алгебры), теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии. Кафедра ведет специализацию «Топологические методы функционального анализа» для бакалавров и специалистов, при кафедре открыта магистратура по специальности «Функциональный анализ». Кафедра имеет аспирантуру, которую окончило более 40 человек. За последние годы практически все выпускники аспирантуры кафедры защитили кандидатские диссертации в срок или досрочно.

С момента создания кафедры и до 2000 года кафедрой заведовал доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Юрий Григорьевич Борисович. Юрий Григорьевич создал широко известную во всем мире научную школу. Им лично подготовлено 29 кандидатов наук и 6 докторов наук, большое число кандидатов наук подготовили также его ученики. В настоящее время практически все сотрудники кафедры принадлежат школе Ю.Г. Борисовича – являются либо его учениками, либо учениками его учеников. На математическом факультете – это единственная кафедра, составленная из представителей единой научной школы, и лишь несколько подобных кафедр имеется во всем университете.

В настоящее время на кафедре работает 3 доктора наук, профессора — Звягин В.Г., Гликлих Ю.Е., Обуховский В.В.; 4 кандидата наук, доценты – Близняков Н.М., Адамова Р.С., Воротников Д.А., Турбин М.В.; к.ф.-м.н. Кузьмин М.Ю.; ассистенты – Кунаковская О.В., Удоденко Н.Н. С 2000 года кафедрой заведует профессор Виктор Григорьевич Звягин – академик РАЕН и Академии нелинейных наук.

В свое время широкую известность получили научные исследования кафедры по топологическим методам нелинейного анализа и его приложениям во всем их многообразии. Эта тематика по-прежнему является объединяющим фундаментом научных исследований сотрудников. Однако сейчас в их научные интересы вошли также многие смежные разделы математики и ее приложений. В настоящее время тематика научных исследований кафедры включает в себя современные разделы топологии, анализа на многообразиях, функционального анализа, нелинейного анализа (включая теорию фредгольмовых операторов, теорию бифуркаций, многозначные отображения). В нее входят также стохастическая дифференциальная геометрия и стохастический анализ на многообразиях, уравнения математической физики (нелинейные краевые задачи, задачи нелинейной механики и гидродинамики). геометрические и стохастические методы), а также теория дифференциальных включений с приложениями к проблемам оптимизации. Топологическая подготовка студентов на кафедре ведется на базе широко известного во всем мире учебника «Введение в топологию», написанного профессором Ю.Г. Борисовичем совместно с его учениками Н.М. Близняковым, Я.А. Израилевичем и Т.Н. Фоменко, который неоднократно переиздавался на русском, английском, китайском и других языках.

Сотрудники кафедры имеют постоянные научные контакты с учеными из Италии, Великобритании, Германии, США, Канады, Франции, Польши, Болгарии, Алжира, Вьетнама и других стран. Выполняются исследования по международным (совместно с иностранными учеными) и российским грантам (INTAS, РФФИ и др.). По результатам научных исследований сотрудников, студентов и аспирантов кафедры издано 8 монографий, в основном в центральных Российских издательствах и в крупнейших международных издательствах Kluwer Academic Publishers, Springer-Verlag и Walter de Gruyter. В частности, в 2004 — 2005 гг. вышли из печати 3 монографии в центральных Российских издательствах. Опубликовано также несколько обзорных статей монографического характера в журнале Успехи Математических Наук и в «Итогах науки и техники» ВИНИТИ, а также большое число исследовательских научных работ в центральных Российских и в международных журналах. В известной серии Lecture Notes in Mathematics издательства Springer-Verlag было опубликовано 5 томов сборников статей под общим названием “Global Analysis – Studies and Applications” под редакцией Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха (тома 1108, 1214, 1334, 1453, 1520). Широкую известность приобрели также 15 выпусков тематических сборников серии «Новое в глобальном анализе» Издательства ВГУ (главный редактор – Ю.Г. Борисович). Результаты научных исследований сотрудников кафедры регулярно докладывались на Всероссийских и международных научных конференциях и конгрессах в России, Украине, Великобритании, Болгарии, Швейцарии, Венгрии, Франции, Греции, Чехии, Китае, Польше, Германии и в других странах.

Перечень организаций, в которых работают выпускники кафедры:

• Инженеры-программисты «Сбербанка»
• Инженеры-программисты НИИ связи
• Ассистенты ВГУ
• Научные сотрудники НИИ
• Математики ВГУ
• Преподаватели ВГПУ
• Инженеры-программисты КБ Химавтоматика
• Инженеры-программисты «Нефтепродукт»
• Учителя средних школ г. Воронежа, Липецка, Воронежской, Липецкой, Белгородской и др.областей

1. Перечень спецкурсов, читаемых на кафедре алгебры и топологических методов анализа:

• «Нелинейные уравнения и степень отображения»
• «Глобальный анализ и его приложения»
• «Многообразия, тензоры, дифференциальные формы»
• «Ковариантная производная и ее приложения»
• «Теория фредгольмовых отображений и ее приложения»
• «Геометрические методы в механике и физике»
• «Бифуркации решений дифференциальных уравнений»
• «Математические модели движения вязкой несжимаемой жидкости и их исследование»
• «Вариационный метод и конечномерные редукции в нелинейных задачах математической физики»
• «Топология и алгебры в проблемах физики,механики геометрии»
• «Бифуркации экстремалей»
• «Анализ в бесконечномерных пространствах»
• «Теория степени Лере-Шаудера, ее обобщения и приложения»
• «Многозначные отображения и оптимальное управление»
• «Спецкурс по школьным учебникам»

2. Перечень предлагаемых курсов для магистров:

Топология гладких многообразий.

• Карты и атласы на конечномерных и бесконечномерных многообразиях.
• Касательные пространства и касательные отображения.
• Гладкие субмерсии и иммерсии.
• Строение гладких многообразий и гладких отображений.

Группы Ли и расслоенные пространства.

• Связь между группами Ли и алгебрами Ли.
• Группы Ли, как группы преобразований.
• Классификация алгебр и групп Ли.
• Приложения групп Ли в физике.
• Расслоенные гладкие многообразия и топологических пространства.
• Главные расслоения. Векторные расслоения. Приложения.

Экстремальные задачи и оптимальное управление.

• Необходимые и достаточные условия экстремумов.
• Классическое вариационное исчисление.
• Нелинейные вариационные задачи математической физики.
• Вариационные задачи оптимального управления.
• Экстремальные задачи с ограничениями. Методы поиска экстремума.

Теория катастроф и теория бифуркаций.

• Особенности дифференцируемых функций.
• Версальные деформации.
• Бифуркационные диаграммы.
• Бифуркации экстремалей.
• Бифуркации циклов динамических систем.
• Бифуркации инвариантных торов.
• Приложения.

Функциональные пространства и краевые задачи.

• Операторная трактовка нелинейных краевых задач.
• Априорные оценки решений.
• Разрешимость нелинейных краевых задач.
• Оценка количества решений.
• Топологическая структура множества решений.
• Эквивариантные уравнения.

Теория нелинейных фредгольмовых операторов и ее приложения.

• Теория степени нелинейных фредгольмовых операторов неотрицательного индекса.
• Фредгольмовы структуры на банаховых многообразиях.
• Конечномерные редукции фредгольмовых уравнений.
• Приложения к нелинейным задачам математической физики.

Топологическая теория многозначных отображений и ее приложения.

• Отображения с выпуклыми, ациклическими и более общими образами.
• Степень многозначного отображения.
• Теория неподвижных точек многозначных отображений.
• Приложения к задачам оптимального управления и нелинейным дифференциальным уравнениям.